Hola chicos(as) primero que nada se ha
hecho este blog con el fin de apoyar a todo aquel que lleve esta materia de
probabilidad y estadística o todo aquel que esté interesado en saber más de
ella.
Se presentan diversos temas muy
interesantes, ejemplos de problemas en los cuales logres comprender cada tema
propuesto.
Ojala sea de gran ayuda.
TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una teoría matemática, que
estudia a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y a otros objetos denominados no
conjuntos.
Los objetos de estudio
de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:
1. Si X no tiene elementos, entonces X es un objeto de la
Teoría de Conjuntos.
2. Si X es un conjunto, entonces X es un objeto de la
Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los
descritos en 1 y 2.
La importancia de la Teoría de
Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la
matemática.Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los
siguientes conceptos y probar todas sus propiedades:
* par
ordenado * función * partición * orden * estructuras algebraicas *los naturales *los
enteros
*relación
*los racionales *los reales *los complejos etc.
Términos básicos de la teoría de conjuntos
Conceptos
básicos de la Teoría de Conjuntos:
Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos
considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa
bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados
elementos de conjuntos.”Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda
colección de objetos es un conjunto.”
Relación de
pertenencia: El “ser
elemento de” es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos
de la Teoría de Conjuntos. Esta relación va de un objeto a otro, donde el
segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un
conjunto
PARA COMPRENDER MEJOR
OPERACIONES
DE CONJUNTOS
1.-UNION DE
CONJUNTOS: La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos
elementos son todos los elementos de A o de B:
La
unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪B que contiene todos los
elementos de A y de B.
Unión
de dos conjuntos
2.-INTERSECCION
DE CONJUNTOS: la interseccionde
conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos de los
conjuntos A Y B.
Dos
conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto
vacío:
Intersección de dos conjuntos A y B.
La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que pertenecen
tanto a A como a B.
3.-COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: El complementario de A es otro conjunto AC cuyos elementos son todos aquellos que
no están en A:
Complemento
de un conjunto A.
El complemento de un conjunto A es otro conjunto A∁ que contiene todos los
elementos (dentro del universo U)
que no están en A.
4.-DIFERENCIA DE
CONJUNTOS: La diferencia de A menos B (o entre A y B)
es otro conjunto A \ B (o también A − B)
cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:
Diferencia entre los conjuntos A y B y viceversa.
La diferencia entre los conjuntos A y B (y viceversa) es otro conjunto con
todos los elementos del "minuendo", salvo los contenidos en el
"sustraendo"
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD:
Experimento aleatorio:
conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente
por el azar.
Espacio muestral:
Espacio muestral:
conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio
Punto muestral o suceso elemental:
Punto muestral o suceso elemental:
el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento:
Suceso o evento:
cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes:
Sucesos mutuamente excluyentes:
sucesos o eventos que no pueden
ocurrir simultáneamente .
Sucesos complementarios:
Sucesos complementarios:
dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el
espacio muestral
Sucesos independientes:
Sucesos independientes:
sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia
de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes:
Sucesos dependientes:
sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia
de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
Ejercicios:
1.-En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un
curso, 15 no estudiaron Matemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si
tenemos un total de 12 alumnos que no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas.
¿Cuántos alumnos estudian exactamente una de las materias mencionadas?
Solución: 10 estudiantes
2.-En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian
ningún idioma extranjero, 450 estudian francés y 50 estudian francés e
inglés. ¿Cuántos estudian solo inglés?
Solución: 50 estudian solo ingles.
3.-.-En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín,
acerca de los medios de transporte mas utilizados entre bus, metro o
moto, se obtuvieron los siguientes resultados: de los 3200 encuestados, 1950
utilizan el metro, 400 se desplazan en moto, 1500 van en bus, 800 se
desplazan en bus y metro, además ninguno de los que se transporta en moto
utiliza bus o metro.
1. El número de personas que solo
utiliza el metro es.
2. Las persona que solo utilizan máximo
2 medios de transporte son.
Solución:
1) 1150 personas ocupan solo el
metro
2) 800 personas
utilizan máximo 2 medios de transporte.
4.-.-En una reunión se determina que 40 personas son
aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas,
además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9
personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son
aficionadas al juego solamente y por último 9 a las fiestas y al vino
solamente.
Determinar:
a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.
b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente.
Determinar:
a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.
b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente.
Solución:
a) 11 personas que son
aficionados al vino solamente
b) 19 personas que son aficionados a las
fiestas solamente
5.-.-Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel
educacional actual de sus hijos.
Los resultados obtenidos son:
▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria.
▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.
▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.
▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.
▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.
▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.
▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.
Con la información anterior, deducir:
- El número de familias que solo tienen hijos universitarios.
- El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.
- El número de familias que tienen hijos que no estudian.
Los resultados obtenidos son:
▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria.
▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.
▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.
▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.
▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.
▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.
▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.
Con la información anterior, deducir:
- El número de familias que solo tienen hijos universitarios.
- El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.
- El número de familias que tienen hijos que no estudian.
Solución:
1) 10 familias que solo tienen
hijos universitarios
2) 38 familias que tienen hijos solo en 2
niveles
3) 27 familias que tienen hijos que no
estudian
6.-.-El
departamento de Ciencias Sociales de una universidad cuenta con 800
estudiantes, por lo que decidió realizar un estudio sobre el número de
estudiantes que durante el actual semestre cursaran la asignatura de
Metodología de la Investigación, Administración, y Estadística. A través de
una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos: Metodología 490,
Administración 160 y Estadística 320. Metodología y Administración 90,
Metodología y Estadística 22, Administración y Estadística 78. Determinar
la cantidad de los que:
1. Estudian las 3 asignaturas.
2. Estudian solo Estadística.
3. Estudian Metodología y Administración. 4. Estudian Administración y Estadística.
2. Estudian solo Estadística.
3. Estudian Metodología y Administración. 4. Estudian Administración y Estadística.
Solución:
1) 20 estudian las 3 asignaturas
2) 240 estudian solo estadística
3) 90 estudian metodología y
administración
4) 78 estudian administración y
estadística.
7.-.- Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado
una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los
siguientes datos:
- 80% tienen televisor.
- 90% tienen radio.
- 60% tienen cocina a gas.
- 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores.
- 55% tienen los tres artefactos.
¿Qué porcentaje de los encuestados poseen uno sólo de estos artefactos?
- 80% tienen televisor.
- 90% tienen radio.
- 60% tienen cocina a gas.
- 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores.
- 55% tienen los tres artefactos.
¿Qué porcentaje de los encuestados poseen uno sólo de estos artefactos?
Solución: 21% posee uno sólo de estos
artefactos
8.-.-De un grupo de 55 contratos internacionales, 25 son
redactados en Inglés, 32 en Francés, 33 en Alemán y 5 en los tres
idiomas. ¿Cuántos contratos han sido redactados en dos (02) de los
referidos idiomas, sabiendo que todos pueden ser redactados por lo menos
en uno de los tres (03) idiomas?
solución: 25 contratos son redactados en
dos idiomas
9.-.-Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o
más asignaturas de Matemática, Física y Química durante un semestre,
reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados:
Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y Física 83, Matemática y
Química 217, Física y Química 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en:
a) Los tres cursos
b) Matemática pero no Química
c) Física pero no matemática
d) Química pero no Física
e) Matemática o Química, pero no Física
f) Matemática y Química, pero no Física
g) Matemática pero no Física ni Química
b) Matemática pero no Química
c) Física pero no matemática
d) Química pero no Física
e) Matemática o Química, pero no Física
f) Matemática y Química, pero no Física
g) Matemática pero no Física ni Química
Solución:
a) 53 en los tres cursos
b) 299 en matemática pero no química
c) 159 en física pero no matemática
d) 285 en química pero no física
e) 150 en matemática o química, pero no en
física
f) 367 en matemática y química, pero no
física
g) 82 en matemática pero no física ni
química
10.- En
un barco viajan 1 200 personas, de las cuales:
• Los 2/3 no fuman
• Los 4/5 no beben
• 680 no fuman ni beben
¿Cuántas personas fuman y beben?
• Los 4/5 no beben
• 680 no fuman ni beben
¿Cuántas personas fuman y beben?
A. 70
|
B. 58
|
C.72
|
D. 120
|
E. 68
|
11.-En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín,
acerca de los medios de transporte mas utilizados entre bus, metro o
moto, se obtuvieron los siguientes resultados: de los 3200 encuestados, 1950
utilizan el metro, 400 se desplazan en moto, 1500 van en bus, 800 se
desplazan en bus y metro, además ninguno de los que se transporta en moto
utiliza bus o metro.
1. El número de personas que solo
utiliza el metro es.
2. Las persona que solo utilizan máximo
2 medios de transporte son.
S
olución: 1) 1150 personas ocupan solo el
metro
2) 800 personas
utilizan máximo 2 medios de transporte.
12.-Sean A ={1,2,3,4}; B
={2,4,6,8}; C
={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C;
d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
13.-
En una reuniòn de trabajo de 30 personas se ofreciò jugo de lima y jugo de
naranja; 2 se sirvieron jugo de lima, 10 jugo de naranja y 8 ninguna de las dos
bebidas.¿cuantas de las personas bebiern jugo de lima y tambien jugo de
naranja?
Soluciòn: n(U)= 30
Tenemos
(20 -
x) + x + (10 - x) + 8=30
20 – x + x + 10 – x + 8=30
38-x=30 8 personas
bebieron jugo de naranja y lima
-x=30-38
-x=-8
X=8
14.-En
una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo de
transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente
información:
431 empleados utilizan metro.
396 empleados utilizan autobús.
101 empleados utilizan metro y trolebús pero no autobús.
176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.
341 utilizan trolebús.
634 utilizan metro o trolebús.
201 utilizan sólo metro.
¿Cuántos empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús?
¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte
mencionados?
¿Cuántos empleados utilizan sólo trolebús?
¿Cuántos empleados utilizan metro, trolebús y autobús?
Respuesta:
428 empleados utilizan metro o trolebús pero no autobús.
517 empleados utilizan sólo uno
de los tres medios de transporte mencionados.
126 empleados utilizan sólo
trolebús.
37 empleados utilizan metro,
trolebús y autobús.
15.-De 100 personas que
visitaron el parque natural de Pucallpa, 55 visitaron el museo, 44 el zoológico
y 20 ambas instalaciones.
¿Cuántas personas no visitaron el zoológico
n el museo?
Solución:
Tenemos
n(U) =100
X+35+20+24=100
X+79=100
X=100-79
X=21
Respuesta:
Tenemos que 21 personas no visitaron el
museo y el zoológico
16.-determinar
por extensión los siguientes conjuntos :
A= {Y/Y € N; 5 < Y <_ 9}
B= {2X + 1/ X € N; 3 <_ X < 6}
C= {1/2X
/X € N; 2 <_ X <_ 4}
SOLUCION:
CONJUNTO A sus elementos tienen forma “Y” ¿Qué valores
puedes asumir “Y”?
Puede asumir valores: 6, 7, 8,9.
Entonces: A= {6, 7, 8,9}
CONJUNTO B : sus valore tiene la forma “2x + 1” ¿Qué
valores pueden asumir “x”?
Respuesta: pueden asumir los valores 3, 4, 5 entonces remplazamos en 2x + 1
Para x=3 2(3)
+1 =7 para x=4 2(4) +1=9
para x =5 2(5)+1=11
CONJUNTO C: Sus elementos tienen la forma “1/2x” ¿Qué
valore puede asumir “x”?
Para x=2 1/ 2(2)=
¼ para x=3 1/ 2(3) =1/6
para x=4 1/ 2(4) para x=5
1/ 2 (5)=1/8
C= {1/4, 1/6,1/8}
20.- Hacer un diagrama linel para los conjuntos A= {
a, b, c}, B ={ a, b} y C = {a, c}
Solución: como A
E B, A E C Y B Y C no son comparables no se puede realizar
7. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen
Solución
P(AUB) = 1/2 + 1/5 – 1/10 = 6/10 = 3/5.
P(AUB) = 1/2 + 1/5 – 1/10 = 6/10 = 3/5.
18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
Solución
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)
Hombre | Mujer | Total | |
Ojos castaños | 5 | 10 | 15 |
Total | 10 | 20 | 30 |
Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 10/30 + 15/30 – 5/30 = 2/3.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 10/30 + 15/30 – 5/30 = 2/3.
19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
Solución
Hombre | Mujer | Total | |
Casados | 35 | 45 | 80 |
Solteros | 20 | 20 | 40 |
Total | 55 | 65 | 120 |
a) P(hs) = 20/120 = 1/6.
b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.
b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.
20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular:
a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
Solución
Electricidad | Mecánica | Chapa | Total | |
Mañana | 3 | 8 | 3 | 14 |
Tarde | 2 | 3 | 1 | 6 |
Total | 5 | 11 | 4 | 20 |
a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%
b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.
b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.
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