La probabilidad de la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas compleja

PROBABILIDAD SIMPLE

Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.
Es cuando se analiza una sola característica.

Probabilidad= Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder

Cantidad total de posibles resultados

Ejemplo Probabilidad simple

Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78.

PROBABILIDAD CONJUNTA

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.

De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.

P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.

Supónganse dos eventos A y B que pertenecen al espacio muestral

EJERCICIOS:

1.Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Solución:

2. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve.

Solución

a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }

b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)

Oservemos que en el caso a) el experimento es con repetición.

3. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.

Solución

a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.

E: espacio muestral, de 20 elementos.

P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad).

b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos

B^c: extraer uba bola al azar que NO sea verde.

P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)

4. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

- A 92 personas les gusta leer.

- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

Solución

A: les gusta ver la tele B: les gusta leer

P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120

a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios)

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)

c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)

5. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

Solución

R: extraer bola roja B: extraer bola blanca

R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)

B^c: NO extraer bola blanca, P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5

( propiedad 5)

6. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)Describe los sucesos:

A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.

c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.

Solución

a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}.

B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.

C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}

c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10

B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10

7. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio.

Solución

H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3

M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3

P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M)

8. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución

a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés

Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles)

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada)

c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24

9. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución

a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada)

b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen elementos comunes)

c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52.

d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes)

10. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con reemplazo, b) sin reemplazo

Solución:

R: extraer bola roja B: extraer bola blanca

E = { RR, RB, BR, BB }

a) Con reemplazo

RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) = (3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).

RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) = (3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento).

BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R cuando hay reemplazamiento).

BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) = (7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).

b) Sin reemplazo

RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) = (3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).

RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) = (3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento).

BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) = (7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento).

BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) = (7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).

11. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

- A 92 personas les gusta leer.

- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

Solución

A: les gusta ver la tele B: les gusta leer

P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120

a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios)

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)

c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)

12. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución

Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de Probablidad).

Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4

13. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?

Solución

Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ... (5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad)

Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4

14. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

Solución

a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.

b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7.

13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?

Solución

El espacio muestral tiene 6² = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6.

15. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:

a) Salga 6 en todos.

b) Las caras obtenidas sumen 7.

Solución

a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.

b) El espacio muestral tiene 6³ = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.

16. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Solución

El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.

A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}

B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común).

16. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas.

Solución

Sea A_i el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y B_j el suceso de sacar "j" papeletas blancas.

P(A₁) = 1 - P(B₁) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.

P(A₂) = 1 - P(B₂) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.

P(A₃) = 1 - P(B₃) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.

17. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen

Solución

P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5.

18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Solución

Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)

	Hombre	Mujer	Total
Ojos castaños	5	10	15
Total	10	20	30

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.

19.-Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

20.-Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

APLICA LA PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

PROBABILIDAD CONJUNTA

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