FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de x_i de la variable su probabilidad p_i.

0 ≤ p_i ≤ 1

p₁ + p₂ + p₃ + · · · + p_n = Σ p_i = 1

 Ejemplo

X	P I
1
2
3
4
5
6
1

1..- Sea X el número que se obtiene al arrojar un dado legal. Encontrar la distribución de probabilidad correspondiente.
Solución.
Los valores que puede tomar la variable aleatoria son 1, 2, 3, 4, 5, 6 y como el dado es legal, todos los valores tienen probabilidad 1/6. En consecuencia:

xi	1	2	3	4	5	6
f(xi)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Para representar gráficamente la distribución de probabilidad se usa un diagrama de líneas. Para construir este gráfico, los distintos valores de la variable aleatoria X se registran en el eje horizontal. En cada valor x_i se dibuja una línea vertical cuya altura es igual a la probabilidad correspondiente f(xi).


 2.-Una tienda pone en venta de liquidación sus últimos 15 radios despertador. Se desconoce que 5 de estos radios están defectuosos. Un comprador selecciona al azar tres radios y los prueba. Sea X la variable aleatoria definida como el número de radios defectuosos entre los seleccionados. Construya la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.
Solución.
Como únicamente estamos interesados en el número de radios defectuosos entre los seleccionados, resulta irrelevante el orden en el cual se seleccionan los radios. Podemos calcular directamente las probabilidades para los diferentes valores de X, haciendo uso del concepto de combinaciones.
En este ejemplo no es necesario describir al espacio muestral para poder determinar los diferentes valores de la variable, ya que resulta evidente que el número de radios defectuosos en la muestra puede ser 0, 1, 2 ó 3, es decir: x_i= 0, 1, 2, 3.






3.-.-Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:
Datos:
                5 buenas
n = 7       2 defectuosas
r = 3
X = Numero de colchas defectuosas
X = 0, 1, 2

4.-Suponga que dos productos A y B de la misma calidad son comparados por cuatro personas, las cuales expresan su preferencia por A o por B. Sea X la variable aleatoria definida como el número de personas que prefieren el producto A. Encontrar la distribución de probabilidad.

Solución.

El espacio muestral correspondiente es:

S = {AAAA, AAAB, AABA, ABAA, BAAA, AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BBAA, BABA, ABBB, ABBB, BBAB, BBBA, BBBB}

donde cada punto muestral es una sucesión de cuatro símbolos A o B.

Los elementos del espacio muestral (eventos simples), los podemos escribir en la forma siguiente:

AAAA             AAAB             AABB             ABBB             BBBB

                                   AABA             ABAB             BABB

                                    ABAA             ABBA             BBAB

                        BAAA             BAAB             BBBA

                                                           BBAA

                                                           BABA            

5.-  Sea X la variable aleatoria que indica la suma de los puntos en las caras superiores al lanzar dos dados, Determine el espacio muestra, el conjunto de valores de X y las probabilidades respectivas.

Solución: El espacio muestral S es el conjunto de los 36 pares ordenados que se indican a continuación:

6.-Para promocionar sus helados de paleta, una f´abrica pone cada 15 helados una etiqueta que

dice “vale otro”. Cualquiera persona que compre un helado y le salga “vale otro.obtiene uno

gratis. Estos helados cuestan 100 pesos cada uno. Si Ud. decide comprar estos helados hasta

obtener uno gratis. ¿Cu´anto esperar´ıa gastar?

SOLUCION´
Sea X : n´umero de helados hasta obtener uno gratis, X ∼ G(p = 1/15
E[X] = 1
p = 15 helados
pero como cada helado cuesta $100, se esperar´ıa gastar $1500.

7.-Supongamos que el 1 % de la poblacion de todos los usuarios de un centro de docu-
mentacion tiene menos de 10 a~nos. Supongamos, tambien, que la poblacion es sucientemente
grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje.
Se eligen al azar 15 usuarios de dicho centro de documentacion. Calcular:Dra. Josefa Marn Fernandez. Grado en Informacion y Documentacion. Estadstica. Tema 5 7
a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 10 a~nos.
b) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos 3 usuarios o menos.
c) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos menos de 3 usuarios.
d) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos mas de 2 usuarios.
e) La probabilidad de que tengan menos de 10 a~nos 2 usuarios o mas.
f) La probabilidad de que el numero de usuarios con menos de 10 a~nos este comprendida
entre 2 (incluido) y 10 (incluido).
g) El numero medio de usuarios con menos de 10 a~nos.


Sea X=numero de usuarios con menos de 10 a~nos, entre los 15
elegidos al azar. Entonces X  B(n = 15; p = 0001).
a) P(X = 0) = FX(0) = 00860058.
b) P(X  3) = FX(3) = 00999988.
c) P(X < 3) = FX(2) = 00999584.
d) P(X > 2) = 1  FX(2) = 00000416.
e) P(X  2) = 1  FX(1) = 00000963.
f) P(2  X  10) = FX(10)  FX(1) = 00000963.
g) E(X) = np = 0015 usuarios con menos de 10 a~n

8.-. Los libros que salen de una imprenta se clasican en defectuosos (si tienen defectos
de impresion) y no defectuosos (si no tienen defectos de impresion). Se supone que la cantidad
de libros que salen de dicha imprenta es tan grande, que puede considerarse innita. Por tanto,
si elegimos y apartamos un libro, esto no altera el porcentaje de libros no defectuosos, que es
95 %.
a) Si se eligen al azar 20 libros, >cual es la probabilidad de que 18 de ellos sean no defec-
tuosos?
b) Si se eligen al azar 25 libros, >cual es la probabilidad de que el numero de libros no
defectuosos sea mayor o igual que 21?




a) Sea X=numero de libros no defectuosos, entre los 20 elegidos al azar. Entonces X 
B(n = 20; p = 0095). Por tanto, P(X = 18) = FX(18)  FX(17) = 00188677.
b) Sea X=numero de libros no defectuosos, entre los 25 elegidos al azar. Entonces X 
B(n = 25; p = 0095). Por tanto, P(X  21) = 1  FX(20) = 00992835.
9.- El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por
experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el
restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de
que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?


SOLUCIÓN:
Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ = 1)
finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue
una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio.
Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n
reservas (δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable
aleatoria Yn =
∑=
n
i 1
δ1, con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular
del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que
han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se
tiene que:
*0,2 *(1 0,2) 0,5799

10.- Se sabe que el 4 % de los libros que se prestan en una biblioteca escolar se devuelven
con retraso. Se realiza el experimento que consiste en observar si la devolucion de cada libro
se ha hecho con retraso o no. Se eligen al azar 12 libros prestados.
a) >Cual es la probabilidad de que se devuelvan con retraso 2 libros?
b) >Cual es la probabilidad de que se devuelvan con retraso mas de 2 libros?


l azar. Entonces X  B(n = 12; p = 0004).
a) P(X = 2) = FX(2)  FX(1) = 00070206.
b) P(X > 2) = 1  FX(2) = 00010729.