La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (radio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
La media de una distribución de probabilidad se denota por la letra griega µ (mu).
A la media también se le suele llamar valor esperado o esperanza matemática y se puede denotar como E(x).Estos nombres tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.varianza.La varianza y desviación típica de una distribución de probabilidad se denotan por la letra griega σ (sigma) : σ2 y σ.
Desviación Estándar
Ejercicios.
1.- Las edades de una muestra de turistas canadienses que vuelan de Toronto a Hong Kong, fueron :
| 32 21 60 47 54 17 72 55 33 41 |
b) Determine la desviación media
c) Evalúe la desviación estándar
3.- Los pesos ( en libras ) de una muestra de cinco cajas enviadas por el servicio de mensajería UPS es : 12 6 7 3 10
a) Obtenga la amplitud de variación 12 - 3 = 9
b) Calcule la desviación media
c) Determine la desviación estándar
2.-La Empresa Trout, inc cría truchas pequeñas en estanques especiales y las vende cuando adquieren cierto peo. Se aisló una muestra de 10 truchas en un estanque y se les alimentó con una mezcla especial denominada RT - 10. Al final del período experimental los precios de las truchas fueron (en gramos):
| 124 125 125 123 120 124 127 125 126 121 |
a) Calcule la varianza usando la fórmula de la desviación
b) Calcule la varianza usando la formula directa
c) Determine la desviación estándar muestral
3.-Considere los seis valores siguientes como una población : 13 3 8 10 8 6a) Calcule la media de la población
b) Halle el valor de la varianza
-
4.-Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 3530 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 3254 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 2142 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 2753 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 5856 59 60 40 24Elabore una tabla de frecuencias.Calcule la media y la desviación típica.SOLUCIÓN:Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:Edad n 20-29 1430-39 1740-49 2250-59 1860-69 9Total 80 Cálculo de la media:Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta, el resultado es una media de 43,29. También:
Edad
|
xi
|
ni
|
xini
|
20-29
|
25
|
14
|
350
|
30-39
|
35
|
17
|
595
|
40-49
|
45
|
22
|
990
|
50-59
|
55
|
18
|
990
|
60-69
|
65
|
9
|
585
|
Total |
80
|
3510
|
, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.Cálculo de la desviación típica:
Edad
|
xi
|
ni
|  |   |  |
20-29
|
25
|
14
|
-18,875
|
356,2656
|
4987,71875
|
30-39
|
35
|
17
|
-8,875
|
78,7656
|
1339,01563
|
40-49
|
45
|
22
|
1,125
|
1,2656
|
27,84375
|
50-59
|
55
|
18
|
11,125
|
123,7656
|
2227,78125
|
60-69
|
65
|
9
|
21,125
|
446,2656
|
4016,39063
|
Total |
80
|
12598,75
|
Sx =
La desviación típica es de 12,5 años5.- Calcule el tamaño muestral de una encuesta realizada por CIS sobre la Unión Europea que incluía todas las provincias excepto Ceuta y Melilla. El error teórico era de + 2, con un intervalo de confianza de 95,5% y P=Q en el supuesto de un muestreo aleatorio simple.SOLUCIÓN
Utilizamos la fórmula para muestras infinitas en la que intervienen los tres factores determinantes del tamaño muestral: la probabilidad con la que queremos trabajar (z), el grado de concentración, dispersión de la población (pq) y el error que estamos dispuestos a asumir.
6.-En una pregunta del CIS sobre la edad hasta la que consideran convenientes los padres controlar los programas y el tiempo de televisión de los hijos, la media fue de 15,4 años y la desviación típica de 2,11. Teniendo en cuenta que las respuestas se distribuyen aproximadamente como la curva normal y que van de los 7 a los 24 años, calcular:a)-Cuantos respondieron que la edad debe ser hasta los 13 añosb)-Cuantos dijeron que debe estar entre 14 y 17 años.c)-Cuantos respondieron que debe estar por encima de los 19 años
SOLUCIÓN:a)
Sx = 2,1
7.-El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
| ||
Veces
|
3
|
8
|
9
|
11
|
20
|
19
|
16
|
13
|
11
|
6
|
4
| ||
8.-.- El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.Por lo que su media es:
-9.-Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
| |
9
|
1
|
10
|
4
|
11
|
9
|
12
|
16
|
13
|
11
|
14
|
8
|
15
|
1
|
10.-Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
11.-Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
12.-Las alturas de los de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura
|
[170, 175)
|
[175, 180)
|
[180, 185)
|
[185, 190)
|
[190, 195)
|
[195, 2.00)
| |
Nº de jugadores
|
1
|
3
|
4
|
8
|
5
|
2
| |
Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.
Respuesta:
| Media = |
600 + 470 + 170 + 430 + 300
| = |
1970
| = 394 |
 | | |||
5
|
5
|
Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:
| Varianza: σ2 = |
2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2
| = |
108,520
| = 21,704 |
| | |||
5
|
5
|
Desviación estándar: σ = √21,704 = 147..12.- Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):
13.-Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
| xi | 61 | 64 | 67 | 70 | 73 |
| fi | 5 | 18 | 42 | 27 | 8 |
Calcular:
1 La moda, mediana y media.
2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.
| xi | fi | Fi | xi · fi | |x − x | | |x − x | · fi | xi2 · fi |
| 61 | 5 | 5 | 305 | 6.45 | 32.25 | 18 605 |
| 64 | 18 | 23 | 1152 | 3.45 | 62.10 | 73 728 |
| 67 | 42 | 65 | 2814 | 0.45 | 18.90 | 188 538 |
| 71 | 27 | 92 | 1890 | 2.55 | 68.85 | 132 300 |
| 73 | 8 | 100 | 584 | 5.55 | 44.40 | 42 632 |
| 100 | 6745 | 226.50 | 455 803 |
Mo = 67
100/2 = 50 Me = 67
r = 73 − 61 = 12
14.-Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9.
Mo = 5
10/2 = 5 
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