TÉCNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar

cinco técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación. 

En este caso solo hablaremos de dos, la de combinación y permutación que son las que más nos interesa, en estos momentos.

​Combinaciones y permutaciones​

 COMBINACIÓN:
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. La fórmula de combinaciones es:

                                                          n C r =       n!     

                        r! (n – r)!                         

 

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
  

PERMUTACIÓN:

Se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles.(El orden si importa) Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
                                               

                                              FÓRMULA:

Cuando NO se permite repetición

n P r =   n!  

           (n – r)!

Cuando se permite repetición

nPr = n^r

Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

 Aplicando la formula de la permutación tenemos:

                                                   

 n P r = n! (n – r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos

r= número de objetos seleccionados

!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

Ejercicios de combinaciones:

1. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

Solución:Solución:

2.-¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales?
R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es
combinación. 7
C3 = 35.​

3.-. De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una
exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.
R: Combinaciones ​

11C4 = 330​

4.-. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

SOLUCION:

No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.

5.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

Solución:Solución:

6. Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa.
a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin
diferenciar el color?
R: 12C5 = 792​

7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
Solución:

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
Solución:

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
Solución:

8. Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan.​

a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas
funcionen?
(7C3) = 35
b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres
funcionen?
P(tres funcionen) = (7
C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917

c. ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres baterías al azar y obtener solamente
una sin funcionar?
(3C1) (7C2) = (21)(3)= 63
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin
funcionar?
P(Sólo una no funcione) =(3C1) (7C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203​

9. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

Solución:

 10. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Solución:

Ejercicios de permutaciones:

11. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
P6 = 6! = 720.​

12. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

Solución:
m = 5     n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

13. Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántasformas puede responder el examen?
Existen
10 10! 10.9.8
C7 = --- = ------ = 120

C7 = --- = ------ = 1203​

7!3! 3.2.1
combinaciones posibles de preguntas que puede contestar

14. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Solución:

Solución:

15.Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de
sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
Hay
20 20!
C11 = ---- = 167.960
11!9!
formas de elegir a los 11 amigos.​

16.Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

Solución:
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

17. 1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de
limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8
mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4
hombres por lo menos?
Solución: a. n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
= 2002 grupos​

18. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Solución:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

19. Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos
maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de
concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de
construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa4
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas
posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquier

20. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Solución:
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.